ประพจน์

ประพจน์ (statement) คือ ประโยคหรือข้อความที่เป็น “จริง” หรือ “เท็จ” อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น 

เรียก จริง (True: T ) หรือ เท็จ (False: F) ว่า ค่าความจริง (truth value) ของประพจน์

ตัวอย่างที่ 1ประโยคหรือข้อความต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นประพจน์จงบอกค่าความจริงของประพจน์

1. พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
   ตอบ เป็นประพจน์ มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
2. 3 + 2 = 6
   ตอบ เป็นประพจน์ มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
3. x เป็นจำนวนนับ
   ตอบ ไม่เป็นประพจน์

การเชื่อมประพจน์

ในชีวิตประจำวันน้อง ๆ จะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อมกันมากกว่าหนึ่งประโยค โดยในบทนี้ตัวเชื่อมที่น้อง ๆ จะเจอ ได้แก่ “และ” “หรือ” “ถ้า…แล้ว…” “ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงมาจากประโยคเดิม โดยเติมคำว่า “ไม่” เข้าไป ซึ่งคำทั้งหมดนี้เราจะเรียกว่า ตัวเชื่อม (connective) ทั้งหมดเลย

ประโยคที่มีตัวเชื่อมจะมีตัวอย่างดังนี้

• 2 เป็นจำนวนคู่ และ 1 เป็นจำนวนคี่
• ถ้า 3 เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว ππ เป็นจำนวนอตรรกยะ
• รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ แล้วการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” “หรือ” “ถ้า…แล้ว…” “ก็ต่อเมื่อ” “ไม่” 

จะมีการใช้สัญลักษณ์ 

• p และ q เขียนแทนด้วย p∧q
• p หรือ q เขียนแทนด้วย p∨q
• ถ้า p แล้ว q เขียนแทนด้วย p→q
• นิเสธของ p เขียนแทนด้วย ∼p

การหาค่าความจริงของประพจน์

จากตารางค่าความจริงในหัวข้อก่อนหน้านี้ ที่มีตัวเชื่อมแบบต่าง ๆ ที่เราเคยกล่าวมาแล้ว เมื่อโจทย์กำหนดค่าความจริงของประพจน์หนึ่งมา น้อง ๆ จะใช้ความรู้นี้เพื่อหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ pp และ qq เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง และ เท็จ ตามลำดับ จงหาค่าความจริงของ (∼p∨q)→p

วิธีทำ (∼p∨q)→p

≡(∼T∨F)→T

≡(F∨F)→T

≡F→T

≡T

การสร้างตารางค่าความจริง

เมื่อโจทย์ไม่ได้กำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยมาให้ แต่เราต้องการหาความจริงของประพจน์ใหญ่ ๆ ที่มีตัวเชื่อมอยู่ในนั้นด้วยแล้ว เราสามารถใช้ตารางค่าความจริง เพื่อวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ว่าเป็นจริงหรือเท็จในแต่ละกรณีได้ โดยเราจะมองว่า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ ซึ่งเราจะต้องสมมติค่าความจริงของ p และ q ทุกกรณี

โดย 

• ถ้ามีประพจน์เดียวคือ p  จะมีกรณีในตารางค่าความจริงทั้งสิ้น 2 กรณี
• ถ้ามี 2 ประพจน์คือ p และ q  จะมีกรณีในตารางค่าความจริงทั้งสิ้น 4 กรณี
• ถ้ามี 3 ประพจน์คือ p,q และ r จะมีกรณีในตารางค่าความจริงทั้งสิ้น 8 กรณี

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

ถ้าน้อง ๆ สร้างตารางค่าความจริงแล้วพบว่ามีประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี เราจะสามารถนำสองประพจน์นั้นไปใช้แทนกันได้เลย เพราะมันเหมือนกันเลย !! โดยเรียกรูปแบบของประพจน์ทั้งสองว่าเป็นรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 

เช่น p∨q กับ q∨p สองประพจน์นี้สมมูลกัน เพราะเมื่อสร้างตารางค่าความจริงแล้วจะมีค่าความจริงเหมือนกันแบบกรณีต่อกรณี ดังนั้นเราจะหยิบเอา p∨q หรือ q∨p ตัวไหนไปใช้ก็ได้ มันสามารถใช้แทนกันได้เลย

โดยน้อง ๆ สามารถตรวจสอบว่าประพจน์ทั้งสองสมมูลกันหรือไม่ ทำได้ 2 วิธี คือ

1. สร้างตารางค่าความจริง
2. ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

วิธีที่ 1 สร้างตารางค่าความจริง

ประพจน์ที่สมมูลกันจะมีค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี

เช่น พิจารณาตารางค่าความจริงของ p→q

p q p→q

t t t

t f f

t t t

t f t

วิธีที่ 2 ใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

หากประพจน์ก้อนหนึ่งใหญ่มาก ๆ การสร้างตารางก็จะต้องใช้เวลามากตามไปด้วย และต้องใช้ความรอบคอบอย่างมากในการใส่ค่าความจริงลงไปในแต่ละช่องของตาราง เพราะถ้าใส่ค่าความจริงผิดแม้แต่ช่องเดียว ก็อาจทำให้คำตอบของเราออกมาผิดได้เลยทันที ดังนั้นพี่จึงแนะนำให้น้อง ๆ ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันด้านล่างนี้ไปใช้ในการจัดรูป เพื่อดูว่าเราสามารถจัดรูปให้ประพจน์สองก้อนนั้นมีหน้าตาเหมือนกันได้หรือไม่ ซึ่งถ้าสามารถจัดรูปให้เหมือนกันได้ แสดงว่าประพจน์สองประพจน์นั้นสมมูลกัน

ตัวอย่างที่ กำหนดให้ pp  และ  qq เป็นประพจน์
จงพิจารณาว่าประพจน์ ∼(p→q)∨∼(p→r) และ p∧(∼q∨∼r) สมมูลกันหรือไม่ 

วิธีทำ

∼(p→q)∨∼(p→r)

≡∼(∼p∨q)∨∼(∼p∨r)

≡(p∧∼q)∨(p∧∼r)

≡p∧(∼q∨∼r)

ดังนั้น ∼(p→ q)∨ ∼(p→ r)≡ p∧(∼q∨∼r)